Cộng vế với vế:

\(\Rightarrow x+y+z=2ax+2by+2cz\)

\(\Rightarrow x+y+z-2x=2ax+2by+2cx-2\left(by+cz\right)=2ax\)

\(\Rightarrow2ax=y+z-x\)

\(\Rightarrow a=\dfrac{y+z-x}{2x}\Rightarrow1+a=\dfrac{x+y+z}{2x}\)

Tương tự ta có: \(1+b=\dfrac{x+y+z}{2y}\) ; \(1+c=\dfrac{x+y+z}{2z}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}=\dfrac{2x+2y+2z}{x+y+z}=2\)

Đặt \(ax^3=by^3=cz^3=k\).

Khi đó ta có:

\(VT=\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{\dfrac{k}{x}+\dfrac{k}{y}+\dfrac{k}{z}}=\sqrt[3]{k\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}=\sqrt[3]{k}\).

\(VP=\sqrt[3]{\dfrac{k}{x^3}}+\sqrt[3]{\dfrac{k}{y^3}}+\sqrt[3]{\dfrac{k}{z^3}}=\sqrt[3]{k}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\sqrt[3]{k}\).

Từ đó ta có đpcm.

Ta có: ax³ = \(\dfrac{ax^2}{\dfrac{1}{x}}\)

Tương tự ta có: ax³ = by³ = cz³ 

hay \(\dfrac{ax^2}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{by^2}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{cz^2}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}\) = ax² + by² + cz² (T/c dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow\) \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{ax^3}=\sqrt[3]{by^3}=\sqrt[3]{cz^3}\)

= \(\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{\sqrt[3]{b}}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)  (đpcm)

Chúc bn học tốt!

Bài này hình như có lần làm rồi :))

Đặt `ax^3=by^3=cz^3=k^3`

`=>a=k^3/x^3,b=k^3/y^3,c=k^3/z^3`

`=>root{3}{a}+root{3}{b}+root{3}{c}=k/x+k/y+k/z=k(1/x+1/y+1/z)=k(1)`

`**:ax^2+by^2+cz^2=(ax^3)/x+(by^3)/y+(cz^3)/z=k^3/x+k^3/y+k^3/z=k^3(1/x+1/y+1/z)=k^3`

`=>root{3}{ax^2+by^2+cz^2}=k(2)`

`(1)(2)=>ĐPCM`

Lời giải:

Ta có:

\(\left\{\begin{matrix} x=by+cz\\ y=ax+cz\\ z=ax+by\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=by-ax\\ z=ax+by\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x-y+z=2by\Rightarrow b=\frac{x+z-y}{2y}\)

Hoàn toàn tương tự ta nhận được:

\(a=\frac{y+z-x}{2x};c=\frac{x+y-z}{2z}\)

Suy ra:

\(\left\{\begin{matrix} a+1=\frac{x+y+z}{2x}\\ b+1=\frac{x+y+z}{2y}\\ c+1=\frac{x+y+z}{2z}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2\) (ĐPCM)

Ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}x=by+cz\\y=ax+cz\\z=ax+by\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x+y+z=2\left(ax+by+cz\right)\)

Thay \(x=by+cz\) vào biểu thức ta được:

\(x+y+z=2\left(ax+x\right)=2x\left(a+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+a}=\dfrac{2x}{2x\left(1+a\right)}=\dfrac{2x}{x+y+z}\)

CMTT và cộng theo vế suy ra A=2